1.4 Modelo
matemático de una señal: Análisis de Fourier
El análisis
de Fourier debe su nombre a Jean Baptist Joseph Fourier (1768-1830), un
matemático y físico francés. Si bien muchas personas contribuyeron a su
desarrollo,
Fourier es reconocido por sus descubrimientos matemáticos y su visión en el uso
práctico de las técnicas. Su interés se centraba en la propagación de calor,
presentando en 1807 un trabajo en el Instituto Francés sobre el uso de
funciones senoidales para representar distribuciones de temperatura.
El análisis
de Fourier es elemental para entender el comportamiento de las señales de
sistemas. Este es el resultado de que los senosoidales son eigenfunciones
de sistemas lineales variantes en el tiempo (LTI). Si pasamos cualquier
senosoidal a través de un sistema LTI, obtenemos la versión escalada de
cualquier sistema senosoidal como salida.
Entonces, ya
que el análisis de Fourier nos permite redefinir las señales en términos de
senosoidales, todo lo que tenemos que hacer es determinar el efecto que
cualquier sistema tiene en todos los senosoidales posibles (su función de
transferencia) así tendremos un entendimiento completo del sistema.
Así mismo, ya
que podemos definir el paso de los senosoidales en el sistema como la
multiplicación de ese senosoidal por la función de transferencia en la misma
frecuencia, puedes convertir el paso de la señal a través de cualquier sistema
de ser una convolución (en tiempo) a una multiplicación (en frecuencia) estas
ideas son lo que dan el poder al análisis de Fourier.
Las cuatro
transformadas de Fourier que forman parte de este análisis son: Series Fourier,
Transformada de Fourier continua en el tiempo, Transformada de Fourier en
Tiempo Discreto, y La Transformada de Fourier Discreta.
Teorema de Fourier - Serie trigonométrica
Gracias
al teorema de Fourier es posible demostrar que toda función
periódica continua, con un número finito de máximos y mínimos en cualquier
período, puede desarrollarse en una única serie trigonométrica uniformemente
convergente a dicha función, llamada serie de Fourier.
sinusoidal*
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